Domgjoni startete seine Profikarriere 2014/15 bei KF Tirana in Albanien, bevor er auf Leihbasis unter anderem für KS Kastrioti (Albanien) und KF Liria (Kosovo) auflief. Auf die Saison 2018/19 wechselte der 190 cm grosse Innenverteidiger zum KF Laçi und absolvierte für den Klub aus der höchsten albanischen Liga 31 Spiele.
2019/20 erfolgte der Wechsel zu Menemen Spor in die zweithöchste türkische Liga, wo sich der kopfballstarke Linksfuss auf Anhieb durchsetzen konnte und in der letzten Saison nicht weniger als 28 Spiele absolvierte und sich dabei zwei Tore und zwei Torvorlagen gutschreiben lassen konnte.
«Mit David Domgjoni konnten wir einen Innenverteidiger verpflichten, der mit seiner zweikampfstarken und intelligenten Spielweise ideal in unsere Mannschaft passt», sagt FCL-Sportchef Remo Meyer zum Transfer von David Domgjoni.