Der gebürtige Georgier kam 2001 nach Deutschland, wo er in den Jugendabteilungen des FSV 67 Halle, Hannover 96 sowie dem VfL Wolfsburg seine fussballerische Ausbildung absolvierte und 2009 in die zweite Mannschaft des VfL kam.
Nach Leihen beim FC Augsburg in der ersten sowie beim FC St. Pauli in der zweiten Bundesliga wechselte Akaki Gogia, der sieben Einsätze in den deutschen Nachwuchsnationalmannschaften bestritt, zur Spielzeit 2013/2014 zum Halleschen FC. Weitere Stationen waren der englische Zweitligist FC Brentford sowie Dynamo Dresden. Seit Sommer 2017 stand der offensive Allrounder beim 1. FC Union Berlin unter Vertrag, wo er in 64 Pflichtspielen acht Treffer und 12 Assists erzielte.
FCZ-Sportchef Marinko Jurendic kommentiert den Neuzugang wie folgt: "Andy verfügt über aussergewöhnliche technische Qualitäten und über viel Spielwitz. Mit seiner variablen Spielweise bekommen wir in unserem Offensivspiel zusätzliche Möglichkeiten. Zudem ist er ein echter Teamplayer, der zu uns passt und auch mit seiner Erfahrung unser Team weiter stärken wird."
Beim FC Zürich wird Gogia die Trikotnummer 39 tragen.